3.6 \(\int \frac{(c+d x+e x^2+f x^3)^3}{\sqrt{a+b x}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=708 \[ -\frac{2 (a+b x)^{7/2} \left (-30 a^2 b^4 \left (2 c e f+d^2 f+d e^2\right )+20 a^3 b^3 \left (3 c f^2+6 d e f+e^3\right )-105 a^4 b^2 f \left (d f+e^2\right )+168 a^5 b e f^2-84 a^6 f^3+12 a b^5 \left (2 c d f+c e^2+d^2 e\right )-b^6 \left (3 c^2 f+6 c d e+d^3\right )\right )}{7 b^{10}}-\frac{6 (a+b x)^{11/2} \left (-21 a^2 b^2 f \left (d f+e^2\right )+56 a^3 b e f^2-42 a^4 f^3+2 a b^3 \left (3 c f^2+6 d e f+e^3\right )-b^4 \left (2 c e f+d^2 f+d e^2\right )\right )}{11 b^{10}}+\frac{2 (a+b x)^{9/2} \left (5 a^2 b^3 \left (3 c f^2+6 d e f+e^3\right )-35 a^3 b^2 f \left (d f+e^2\right )+70 a^4 b e f^2-42 a^5 f^3-5 a b^4 \left (2 c e f+d^2 f+d e^2\right )+b^5 \left (2 c d f+c e^2+d^2 e\right )\right )}{3 b^{10}}+\frac{6 (a+b x)^{5/2} \left (a^2 b e+a^3 (-f)-a b^2 d+b^3 c\right ) \left (a^2 b^2 \left (9 d f+5 e^2\right )-16 a^3 b e f+12 a^4 f^2-a b^3 (3 c f+5 d e)+b^4 \left (c e+d^2\right )\right )}{5 b^{10}}+\frac{2 (a+b x)^{13/2} \left (84 a^2 b e f^2-84 a^3 f^3-21 a b^2 f \left (d f+e^2\right )+b^3 \left (3 c f^2+6 d e f+e^3\right )\right )}{13 b^{10}}+\frac{2 (a+b x)^{3/2} \left (3 a^2 f-2 a b e+b^2 d\right ) \left (a^2 b e+a^3 (-f)-a b^2 d+b^3 c\right )^2}{b^{10}}+\frac{2 \sqrt{a+b x} \left (a^2 b e+a^3 (-f)-a b^2 d+b^3 c\right )^3}{b^{10}}-\frac{2 f (a+b x)^{15/2} \left (-12 a^2 f^2+8 a b e f+b^2 \left (-\left (d f+e^2\right )\right )\right )}{5 b^{10}}+\frac{6 f^2 (a+b x)^{17/2} (b e-3 a f)}{17 b^{10}}+\frac{2 f^3 (a+b x)^{19/2}}{19 b^{10}} \]

[Out]

(2*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)^3*Sqrt[a + b*x])/b^10 + (2*(b^2*d - 2*a*b*e + 3*a^2*f)*(b^3*c - a*b^2*d
+ a^2*b*e - a^3*f)^2*(a + b*x)^(3/2))/b^10 + (6*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*(b^4*(d^2 + c*e) - 16*a^3
*b*e*f + 12*a^4*f^2 - a*b^3*(5*d*e + 3*c*f) + a^2*b^2*(5*e^2 + 9*d*f))*(a + b*x)^(5/2))/(5*b^10) - (2*(168*a^5
*b*e*f^2 - 84*a^6*f^3 - b^6*(d^3 + 6*c*d*e + 3*c^2*f) - 105*a^4*b^2*f*(e^2 + d*f) + 12*a*b^5*(d^2*e + c*e^2 +
2*c*d*f) - 30*a^2*b^4*(d*e^2 + d^2*f + 2*c*e*f) + 20*a^3*b^3*(e^3 + 6*d*e*f + 3*c*f^2))*(a + b*x)^(7/2))/(7*b^
10) + (2*(70*a^4*b*e*f^2 - 42*a^5*f^3 - 35*a^3*b^2*f*(e^2 + d*f) + b^5*(d^2*e + c*e^2 + 2*c*d*f) - 5*a*b^4*(d*
e^2 + d^2*f + 2*c*e*f) + 5*a^2*b^3*(e^3 + 6*d*e*f + 3*c*f^2))*(a + b*x)^(9/2))/(3*b^10) - (6*(56*a^3*b*e*f^2 -
42*a^4*f^3 - 21*a^2*b^2*f*(e^2 + d*f) - b^4*(d*e^2 + d^2*f + 2*c*e*f) + 2*a*b^3*(e^3 + 6*d*e*f + 3*c*f^2))*(a
+ b*x)^(11/2))/(11*b^10) + (2*(84*a^2*b*e*f^2 - 84*a^3*f^3 - 21*a*b^2*f*(e^2 + d*f) + b^3*(e^3 + 6*d*e*f + 3*
c*f^2))*(a + b*x)^(13/2))/(13*b^10) - (2*f*(8*a*b*e*f - 12*a^2*f^2 - b^2*(e^2 + d*f))*(a + b*x)^(15/2))/(5*b^1
0) + (6*f^2*(b*e - 3*a*f)*(a + b*x)^(17/2))/(17*b^10) + (2*f^3*(a + b*x)^(19/2))/(19*b^10)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.625186, antiderivative size = 708, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 2, number of rules used = 1, integrand size = 27, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.037, Rules used = {1850} \[ -\frac{2 (a+b x)^{7/2} \left (-30 a^2 b^4 \left (2 c e f+d^2 f+d e^2\right )+20 a^3 b^3 \left (3 c f^2+6 d e f+e^3\right )-105 a^4 b^2 f \left (d f+e^2\right )+168 a^5 b e f^2-84 a^6 f^3+12 a b^5 \left (2 c d f+c e^2+d^2 e\right )-b^6 \left (3 c^2 f+6 c d e+d^3\right )\right )}{7 b^{10}}-\frac{6 (a+b x)^{11/2} \left (-21 a^2 b^2 f \left (d f+e^2\right )+56 a^3 b e f^2-42 a^4 f^3+2 a b^3 \left (3 c f^2+6 d e f+e^3\right )-b^4 \left (2 c e f+d^2 f+d e^2\right )\right )}{11 b^{10}}+\frac{2 (a+b x)^{9/2} \left (5 a^2 b^3 \left (3 c f^2+6 d e f+e^3\right )-35 a^3 b^2 f \left (d f+e^2\right )+70 a^4 b e f^2-42 a^5 f^3-5 a b^4 \left (2 c e f+d^2 f+d e^2\right )+b^5 \left (2 c d f+c e^2+d^2 e\right )\right )}{3 b^{10}}+\frac{6 (a+b x)^{5/2} \left (a^2 b e+a^3 (-f)-a b^2 d+b^3 c\right ) \left (a^2 b^2 \left (9 d f+5 e^2\right )-16 a^3 b e f+12 a^4 f^2-a b^3 (3 c f+5 d e)+b^4 \left (c e+d^2\right )\right )}{5 b^{10}}+\frac{2 (a+b x)^{13/2} \left (84 a^2 b e f^2-84 a^3 f^3-21 a b^2 f \left (d f+e^2\right )+b^3 \left (3 c f^2+6 d e f+e^3\right )\right )}{13 b^{10}}+\frac{2 (a+b x)^{3/2} \left (3 a^2 f-2 a b e+b^2 d\right ) \left (a^2 b e+a^3 (-f)-a b^2 d+b^3 c\right )^2}{b^{10}}+\frac{2 \sqrt{a+b x} \left (a^2 b e+a^3 (-f)-a b^2 d+b^3 c\right )^3}{b^{10}}-\frac{2 f (a+b x)^{15/2} \left (-12 a^2 f^2+8 a b e f+b^2 \left (-\left (d f+e^2\right )\right )\right )}{5 b^{10}}+\frac{6 f^2 (a+b x)^{17/2} (b e-3 a f)}{17 b^{10}}+\frac{2 f^3 (a+b x)^{19/2}}{19 b^{10}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)^3/Sqrt[a + b*x],x]

[Out]

(2*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)^3*Sqrt[a + b*x])/b^10 + (2*(b^2*d - 2*a*b*e + 3*a^2*f)*(b^3*c - a*b^2*d
+ a^2*b*e - a^3*f)^2*(a + b*x)^(3/2))/b^10 + (6*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*(b^4*(d^2 + c*e) - 16*a^3
*b*e*f + 12*a^4*f^2 - a*b^3*(5*d*e + 3*c*f) + a^2*b^2*(5*e^2 + 9*d*f))*(a + b*x)^(5/2))/(5*b^10) - (2*(168*a^5
*b*e*f^2 - 84*a^6*f^3 - b^6*(d^3 + 6*c*d*e + 3*c^2*f) - 105*a^4*b^2*f*(e^2 + d*f) + 12*a*b^5*(d^2*e + c*e^2 +
2*c*d*f) - 30*a^2*b^4*(d*e^2 + d^2*f + 2*c*e*f) + 20*a^3*b^3*(e^3 + 6*d*e*f + 3*c*f^2))*(a + b*x)^(7/2))/(7*b^
10) + (2*(70*a^4*b*e*f^2 - 42*a^5*f^3 - 35*a^3*b^2*f*(e^2 + d*f) + b^5*(d^2*e + c*e^2 + 2*c*d*f) - 5*a*b^4*(d*
e^2 + d^2*f + 2*c*e*f) + 5*a^2*b^3*(e^3 + 6*d*e*f + 3*c*f^2))*(a + b*x)^(9/2))/(3*b^10) - (6*(56*a^3*b*e*f^2 -
42*a^4*f^3 - 21*a^2*b^2*f*(e^2 + d*f) - b^4*(d*e^2 + d^2*f + 2*c*e*f) + 2*a*b^3*(e^3 + 6*d*e*f + 3*c*f^2))*(a
+ b*x)^(11/2))/(11*b^10) + (2*(84*a^2*b*e*f^2 - 84*a^3*f^3 - 21*a*b^2*f*(e^2 + d*f) + b^3*(e^3 + 6*d*e*f + 3*
c*f^2))*(a + b*x)^(13/2))/(13*b^10) - (2*f*(8*a*b*e*f - 12*a^2*f^2 - b^2*(e^2 + d*f))*(a + b*x)^(15/2))/(5*b^1
0) + (6*f^2*(b*e - 3*a*f)*(a + b*x)^(17/2))/(17*b^10) + (2*f^3*(a + b*x)^(19/2))/(19*b^10)

Rule 1850

Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Pq*(a + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[
{a, b, n}, x] && PolyQ[Pq, x] && (IGtQ[p, 0] || EqQ[n, 1])

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\left (c+d x+e x^2+f x^3\right )^3}{\sqrt{a+b x}} \, dx &=\int \left (\frac{\left (b^3 c-a b^2 d+a^2 b e-a^3 f\right )^3}{b^9 \sqrt{a+b x}}+\frac{3 \left (b^2 d-2 a b e+3 a^2 f\right ) \left (b^3 c-a b^2 d+a^2 b e-a^3 f\right )^2 \sqrt{a+b x}}{b^9}+\frac{3 \left (b^3 c-a b^2 d+a^2 b e-a^3 f\right ) \left (b^4 d^2+b^4 c e-5 a b^3 d e+5 a^2 b^2 e^2-3 a b^3 c f+9 a^2 b^2 d f-16 a^3 b e f+12 a^4 f^2\right ) (a+b x)^{3/2}}{b^9}+\frac{\left (-168 a^5 b e f^2+84 a^6 f^3+b^6 \left (d^3+6 c d e+3 c^2 f\right )+105 a^4 b^2 f \left (e^2+d f\right )-12 a b^5 \left (d^2 e+c e^2+2 c d f\right )+30 a^2 b^4 \left (d e^2+d^2 f+2 c e f\right )-20 a^3 b^3 \left (e^3+6 d e f+3 c f^2\right )\right ) (a+b x)^{5/2}}{b^9}+\frac{3 \left (70 a^4 b e f^2-42 a^5 f^3-35 a^3 b^2 f \left (e^2+d f\right )+b^5 \left (d^2 e+c e^2+2 c d f\right )-5 a b^4 \left (d e^2+d^2 f+2 c e f\right )+5 a^2 b^3 \left (e^3+6 d e f+3 c f^2\right )\right ) (a+b x)^{7/2}}{b^9}+\frac{3 \left (-56 a^3 b e f^2+42 a^4 f^3+21 a^2 b^2 f \left (e^2+d f\right )+b^4 \left (d e^2+d^2 f+2 c e f\right )-2 a b^3 \left (e^3+6 d e f+3 c f^2\right )\right ) (a+b x)^{9/2}}{b^9}+\frac{\left (84 a^2 b e f^2-84 a^3 f^3-21 a b^2 f \left (e^2+d f\right )+b^3 \left (e^3+6 d e f+3 c f^2\right )\right ) (a+b x)^{11/2}}{b^9}+\frac{3 f \left (-8 a b e f+12 a^2 f^2+b^2 \left (e^2+d f\right )\right ) (a+b x)^{13/2}}{b^9}+\frac{3 f^2 (b e-3 a f) (a+b x)^{15/2}}{b^9}+\frac{f^3 (a+b x)^{17/2}}{b^9}\right ) \, dx\\ &=\frac{2 \left (b^3 c-a b^2 d+a^2 b e-a^3 f\right )^3 \sqrt{a+b x}}{b^{10}}+\frac{2 \left (b^2 d-2 a b e+3 a^2 f\right ) \left (b^3 c-a b^2 d+a^2 b e-a^3 f\right )^2 (a+b x)^{3/2}}{b^{10}}+\frac{6 \left (b^3 c-a b^2 d+a^2 b e-a^3 f\right ) \left (b^4 \left (d^2+c e\right )-16 a^3 b e f+12 a^4 f^2-a b^3 (5 d e+3 c f)+a^2 b^2 \left (5 e^2+9 d f\right )\right ) (a+b x)^{5/2}}{5 b^{10}}-\frac{2 \left (168 a^5 b e f^2-84 a^6 f^3-b^6 \left (d^3+6 c d e+3 c^2 f\right )-105 a^4 b^2 f \left (e^2+d f\right )+12 a b^5 \left (d^2 e+c e^2+2 c d f\right )-30 a^2 b^4 \left (d e^2+d^2 f+2 c e f\right )+20 a^3 b^3 \left (e^3+6 d e f+3 c f^2\right )\right ) (a+b x)^{7/2}}{7 b^{10}}+\frac{2 \left (70 a^4 b e f^2-42 a^5 f^3-35 a^3 b^2 f \left (e^2+d f\right )+b^5 \left (d^2 e+c e^2+2 c d f\right )-5 a b^4 \left (d e^2+d^2 f+2 c e f\right )+5 a^2 b^3 \left (e^3+6 d e f+3 c f^2\right )\right ) (a+b x)^{9/2}}{3 b^{10}}-\frac{6 \left (56 a^3 b e f^2-42 a^4 f^3-21 a^2 b^2 f \left (e^2+d f\right )-b^4 \left (d e^2+d^2 f+2 c e f\right )+2 a b^3 \left (e^3+6 d e f+3 c f^2\right )\right ) (a+b x)^{11/2}}{11 b^{10}}+\frac{2 \left (84 a^2 b e f^2-84 a^3 f^3-21 a b^2 f \left (e^2+d f\right )+b^3 \left (e^3+6 d e f+3 c f^2\right )\right ) (a+b x)^{13/2}}{13 b^{10}}-\frac{2 f \left (8 a b e f-12 a^2 f^2-b^2 \left (e^2+d f\right )\right ) (a+b x)^{15/2}}{5 b^{10}}+\frac{6 f^2 (b e-3 a f) (a+b x)^{17/2}}{17 b^{10}}+\frac{2 f^3 (a+b x)^{19/2}}{19 b^{10}}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 2.26284, size = 678, normalized size = 0.96 \[ \frac{2 \left (\frac{1}{7} (a+b x)^{7/2} \left (30 a^2 b^4 \left (2 c e f+d^2 f+d e^2\right )-20 a^3 b^3 \left (3 c f^2+6 d e f+e^3\right )+105 a^4 b^2 f \left (d f+e^2\right )-168 a^5 b e f^2+84 a^6 f^3-12 a b^5 \left (2 c d f+c e^2+d^2 e\right )+b^6 \left (3 c^2 f+6 c d e+d^3\right )\right )+\frac{3}{11} (a+b x)^{11/2} \left (21 a^2 b^2 f \left (d f+e^2\right )-56 a^3 b e f^2+42 a^4 f^3-2 a b^3 \left (3 c f^2+6 d e f+e^3\right )+b^4 \left (2 c e f+d^2 f+d e^2\right )\right )+\frac{1}{3} (a+b x)^{9/2} \left (5 a^2 b^3 \left (3 c f^2+6 d e f+e^3\right )-35 a^3 b^2 f \left (d f+e^2\right )+70 a^4 b e f^2-42 a^5 f^3-5 a b^4 \left (2 c e f+d^2 f+d e^2\right )+b^5 \left (2 c d f+c e^2+d^2 e\right )\right )+\frac{3}{5} (a+b x)^{5/2} \left (a^2 b e+a^3 (-f)-a b^2 d+b^3 c\right ) \left (a^2 b^2 \left (9 d f+5 e^2\right )-16 a^3 b e f+12 a^4 f^2-a b^3 (3 c f+5 d e)+b^4 \left (c e+d^2\right )\right )+\frac{1}{13} (a+b x)^{13/2} \left (84 a^2 b e f^2-84 a^3 f^3-21 a b^2 f \left (d f+e^2\right )+b^3 \left (3 c f^2+6 d e f+e^3\right )\right )+(a+b x)^{3/2} \left (3 a^2 f-2 a b e+b^2 d\right ) \left (a^2 b e+a^3 (-f)-a b^2 d+b^3 c\right )^2+\sqrt{a+b x} \left (a^2 b e+a^3 (-f)-a b^2 d+b^3 c\right )^3+\frac{1}{5} f (a+b x)^{15/2} \left (12 a^2 f^2-8 a b e f+b^2 \left (d f+e^2\right )\right )+\frac{3}{17} f^2 (a+b x)^{17/2} (b e-3 a f)+\frac{1}{19} f^3 (a+b x)^{19/2}\right )}{b^{10}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)^3/Sqrt[a + b*x],x]

[Out]

(2*((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)^3*Sqrt[a + b*x] + (b^2*d - 2*a*b*e + 3*a^2*f)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b
*e - a^3*f)^2*(a + b*x)^(3/2) + (3*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*(b^4*(d^2 + c*e) - 16*a^3*b*e*f + 12*a^
4*f^2 - a*b^3*(5*d*e + 3*c*f) + a^2*b^2*(5*e^2 + 9*d*f))*(a + b*x)^(5/2))/5 + ((-168*a^5*b*e*f^2 + 84*a^6*f^3
+ b^6*(d^3 + 6*c*d*e + 3*c^2*f) + 105*a^4*b^2*f*(e^2 + d*f) - 12*a*b^5*(d^2*e + c*e^2 + 2*c*d*f) + 30*a^2*b^4*
(d*e^2 + d^2*f + 2*c*e*f) - 20*a^3*b^3*(e^3 + 6*d*e*f + 3*c*f^2))*(a + b*x)^(7/2))/7 + ((70*a^4*b*e*f^2 - 42*a
^5*f^3 - 35*a^3*b^2*f*(e^2 + d*f) + b^5*(d^2*e + c*e^2 + 2*c*d*f) - 5*a*b^4*(d*e^2 + d^2*f + 2*c*e*f) + 5*a^2*
b^3*(e^3 + 6*d*e*f + 3*c*f^2))*(a + b*x)^(9/2))/3 + (3*(-56*a^3*b*e*f^2 + 42*a^4*f^3 + 21*a^2*b^2*f*(e^2 + d*f
) + b^4*(d*e^2 + d^2*f + 2*c*e*f) - 2*a*b^3*(e^3 + 6*d*e*f + 3*c*f^2))*(a + b*x)^(11/2))/11 + ((84*a^2*b*e*f^2
- 84*a^3*f^3 - 21*a*b^2*f*(e^2 + d*f) + b^3*(e^3 + 6*d*e*f + 3*c*f^2))*(a + b*x)^(13/2))/13 + (f*(-8*a*b*e*f
+ 12*a^2*f^2 + b^2*(e^2 + d*f))*(a + b*x)^(15/2))/5 + (3*f^2*(b*e - 3*a*f)*(a + b*x)^(17/2))/17 + (f^3*(a + b*
x)^(19/2))/19))/b^10

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.007, size = 1417, normalized size = 2. \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((f*x^3+e*x^2+d*x+c)^3/(b*x+a)^(1/2),x)

[Out]

-2/4849845*(b*x+a)^(1/2)*(-255255*b^9*f^3*x^9+270270*a*b^8*f^3*x^8-855855*b^9*e*f^2*x^8-288288*a^2*b^7*f^3*x^7
+912912*a*b^8*e*f^2*x^7-969969*b^9*d*f^2*x^7-969969*b^9*e^2*f*x^7+310464*a^3*b^6*f^3*x^6-983136*a^2*b^7*e*f^2*
x^6+1044582*a*b^8*d*f^2*x^6+1044582*a*b^8*e^2*f*x^6-1119195*b^9*c*f^2*x^6-2238390*b^9*d*e*f*x^6-373065*b^9*e^3
*x^6-338688*a^4*b^5*f^3*x^5+1072512*a^3*b^6*e*f^2*x^5-1139544*a^2*b^7*d*f^2*x^5-1139544*a^2*b^7*e^2*f*x^5+1220
940*a*b^8*c*f^2*x^5+2441880*a*b^8*d*e*f*x^5+406980*a*b^8*e^3*x^5-2645370*b^9*c*e*f*x^5-1322685*b^9*d^2*f*x^5-1
322685*b^9*d*e^2*x^5+376320*a^5*b^4*f^3*x^4-1191680*a^4*b^5*e*f^2*x^4+1266160*a^3*b^6*d*f^2*x^4+1266160*a^3*b^
6*e^2*f*x^4-1356600*a^2*b^7*c*f^2*x^4-2713200*a^2*b^7*d*e*f*x^4-452200*a^2*b^7*e^3*x^4+2939300*a*b^8*c*e*f*x^4
+1469650*a*b^8*d^2*f*x^4+1469650*a*b^8*d*e^2*x^4-3233230*b^9*c*d*f*x^4-1616615*b^9*c*e^2*x^4-1616615*b^9*d^2*e
*x^4-430080*a^6*b^3*f^3*x^3+1361920*a^5*b^4*e*f^2*x^3-1447040*a^4*b^5*d*f^2*x^3-1447040*a^4*b^5*e^2*f*x^3+1550
400*a^3*b^6*c*f^2*x^3+3100800*a^3*b^6*d*e*f*x^3+516800*a^3*b^6*e^3*x^3-3359200*a^2*b^7*c*e*f*x^3-1679600*a^2*b
^7*d^2*f*x^3-1679600*a^2*b^7*d*e^2*x^3+3695120*a*b^8*c*d*f*x^3+1847560*a*b^8*c*e^2*x^3+1847560*a*b^8*d^2*e*x^3
-2078505*b^9*c^2*f*x^3-4157010*b^9*c*d*e*x^3-692835*b^9*d^3*x^3+516096*a^7*b^2*f^3*x^2-1634304*a^6*b^3*e*f^2*x
^2+1736448*a^5*b^4*d*f^2*x^2+1736448*a^5*b^4*e^2*f*x^2-1860480*a^4*b^5*c*f^2*x^2-3720960*a^4*b^5*d*e*f*x^2-620
160*a^4*b^5*e^3*x^2+4031040*a^3*b^6*c*e*f*x^2+2015520*a^3*b^6*d^2*f*x^2+2015520*a^3*b^6*d*e^2*x^2-4434144*a^2*
b^7*c*d*f*x^2-2217072*a^2*b^7*c*e^2*x^2-2217072*a^2*b^7*d^2*e*x^2+2494206*a*b^8*c^2*f*x^2+4988412*a*b^8*c*d*e*
x^2+831402*a*b^8*d^3*x^2-2909907*b^9*c^2*e*x^2-2909907*b^9*c*d^2*x^2-688128*a^8*b*f^3*x+2179072*a^7*b^2*e*f^2*
x-2315264*a^6*b^3*d*f^2*x-2315264*a^6*b^3*e^2*f*x+2480640*a^5*b^4*c*f^2*x+4961280*a^5*b^4*d*e*f*x+826880*a^5*b
^4*e^3*x-5374720*a^4*b^5*c*e*f*x-2687360*a^4*b^5*d^2*f*x-2687360*a^4*b^5*d*e^2*x+5912192*a^3*b^6*c*d*f*x+29560
96*a^3*b^6*c*e^2*x+2956096*a^3*b^6*d^2*e*x-3325608*a^2*b^7*c^2*f*x-6651216*a^2*b^7*c*d*e*x-1108536*a^2*b^7*d^3
*x+3879876*a*b^8*c^2*e*x+3879876*a*b^8*c*d^2*x-4849845*b^9*c^2*d*x+1376256*a^9*f^3-4358144*a^8*b*e*f^2+4630528
*a^7*b^2*d*f^2+4630528*a^7*b^2*e^2*f-4961280*a^6*b^3*c*f^2-9922560*a^6*b^3*d*e*f-1653760*a^6*b^3*e^3+10749440*
a^5*b^4*c*e*f+5374720*a^5*b^4*d^2*f+5374720*a^5*b^4*d*e^2-11824384*a^4*b^5*c*d*f-5912192*a^4*b^5*c*e^2-5912192
*a^4*b^5*d^2*e+6651216*a^3*b^6*c^2*f+13302432*a^3*b^6*c*d*e+2217072*a^3*b^6*d^3-7759752*a^2*b^7*c^2*e-7759752*
a^2*b^7*c*d^2+9699690*a*b^8*c^2*d-4849845*b^9*c^3)/b^10

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 1.05296, size = 1836, normalized size = 2.59 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((f*x^3+e*x^2+d*x+c)^3/(b*x+a)^(1/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

2/4849845*(4849845*sqrt(b*x + a)*c^3 + 138567*c^2*(35*((b*x + a)^(3/2) - 3*sqrt(b*x + a)*a)*d/b + 7*(3*(b*x +
a)^(5/2) - 10*(b*x + a)^(3/2)*a + 15*sqrt(b*x + a)*a^2)*e/b^2 + 3*(5*(b*x + a)^(7/2) - 21*(b*x + a)^(5/2)*a +
35*(b*x + a)^(3/2)*a^2 - 35*sqrt(b*x + a)*a^3)*f/b^3) + 323*c*(3003*(3*(b*x + a)^(5/2) - 10*(b*x + a)^(3/2)*a
+ 15*sqrt(b*x + a)*a^2)*d^2/b^2 + 143*(35*(b*x + a)^(9/2) - 180*(b*x + a)^(7/2)*a + 378*(b*x + a)^(5/2)*a^2 -
420*(b*x + a)^(3/2)*a^3 + 315*sqrt(b*x + a)*a^4)*e^2/b^4 + 286*(35*(b*x + a)^(9/2)*f + 45*(b*e - 4*a*f)*(b*x +
a)^(7/2) - 189*(a*b*e - 2*a^2*f)*(b*x + a)^(5/2) + 105*(3*a^2*b*e - 4*a^3*f)*(b*x + a)^(3/2) - 315*(a^3*b*e -
a^4*f)*sqrt(b*x + a))*d/b^4 + 130*(63*(b*x + a)^(11/2) - 385*(b*x + a)^(9/2)*a + 990*(b*x + a)^(7/2)*a^2 - 13
86*(b*x + a)^(5/2)*a^3 + 1155*(b*x + a)^(3/2)*a^4 - 693*sqrt(b*x + a)*a^5)*e*f/b^5 + 15*(231*(b*x + a)^(13/2)
- 1638*(b*x + a)^(11/2)*a + 5005*(b*x + a)^(9/2)*a^2 - 8580*(b*x + a)^(7/2)*a^3 + 9009*(b*x + a)^(5/2)*a^4 - 6
006*(b*x + a)^(3/2)*a^5 + 3003*sqrt(b*x + a)*a^6)*f^2/b^6) + 138567*(5*(b*x + a)^(7/2) - 21*(b*x + a)^(5/2)*a
+ 35*(b*x + a)^(3/2)*a^2 - 35*sqrt(b*x + a)*a^3)*d^3/b^3 + 4199*(315*(b*x + a)^(11/2)*f + 385*(b*e - 5*a*f)*(b
*x + a)^(9/2) - 990*(2*a*b*e - 5*a^2*f)*(b*x + a)^(7/2) + 1386*(3*a^2*b*e - 5*a^3*f)*(b*x + a)^(5/2) - 1155*(4
*a^3*b*e - 5*a^4*f)*(b*x + a)^(3/2) + 3465*(a^4*b*e - a^5*f)*sqrt(b*x + a))*d^2/b^5 + 1615*(231*(b*x + a)^(13/
2) - 1638*(b*x + a)^(11/2)*a + 5005*(b*x + a)^(9/2)*a^2 - 8580*(b*x + a)^(7/2)*a^3 + 9009*(b*x + a)^(5/2)*a^4
- 6006*(b*x + a)^(3/2)*a^5 + 3003*sqrt(b*x + a)*a^6)*e^3/b^6 + 2261*(429*(b*x + a)^(15/2) - 3465*(b*x + a)^(13
/2)*a + 12285*(b*x + a)^(11/2)*a^2 - 25025*(b*x + a)^(9/2)*a^3 + 32175*(b*x + a)^(7/2)*a^4 - 27027*(b*x + a)^(
5/2)*a^5 + 15015*(b*x + a)^(3/2)*a^6 - 6435*sqrt(b*x + a)*a^7)*e^2*f/b^7 + 133*(6435*(b*x + a)^(17/2) - 58344*
(b*x + a)^(15/2)*a + 235620*(b*x + a)^(13/2)*a^2 - 556920*(b*x + a)^(11/2)*a^3 + 850850*(b*x + a)^(9/2)*a^4 -
875160*(b*x + a)^(7/2)*a^5 + 612612*(b*x + a)^(5/2)*a^6 - 291720*(b*x + a)^(3/2)*a^7 + 109395*sqrt(b*x + a)*a^
8)*e*f^2/b^8 + 323*(3003*(b*x + a)^(15/2)*f^2 + 3465*(2*b*e*f - 7*a*f^2)*(b*x + a)^(13/2) + 4095*(b^2*e^2 - 12
*a*b*e*f + 21*a^2*f^2)*(b*x + a)^(11/2) - 25025*(a*b^2*e^2 - 6*a^2*b*e*f + 7*a^3*f^2)*(b*x + a)^(9/2) + 32175*
(2*a^2*b^2*e^2 - 8*a^3*b*e*f + 7*a^4*f^2)*(b*x + a)^(7/2) - 9009*(10*a^3*b^2*e^2 - 30*a^4*b*e*f + 21*a^5*f^2)*
(b*x + a)^(5/2) + 15015*(5*a^4*b^2*e^2 - 12*a^5*b*e*f + 7*a^6*f^2)*(b*x + a)^(3/2) - 45045*(a^5*b^2*e^2 - 2*a^
6*b*e*f + a^7*f^2)*sqrt(b*x + a))*d/b^7 + 21*(12155*(b*x + a)^(19/2) - 122265*(b*x + a)^(17/2)*a + 554268*(b*x
+ a)^(15/2)*a^2 - 1492260*(b*x + a)^(13/2)*a^3 + 2645370*(b*x + a)^(11/2)*a^4 - 3233230*(b*x + a)^(9/2)*a^5 +
2771340*(b*x + a)^(7/2)*a^6 - 1662804*(b*x + a)^(5/2)*a^7 + 692835*(b*x + a)^(3/2)*a^8 - 230945*sqrt(b*x + a)
*a^9)*f^3/b^9)/b

________________________________________________________________________________________

Fricas [A]  time = 1.38497, size = 2993, normalized size = 4.23 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((f*x^3+e*x^2+d*x+c)^3/(b*x+a)^(1/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

2/4849845*(255255*b^9*f^3*x^9 + 4849845*b^9*c^3 - 9699690*a*b^8*c^2*d + 7759752*a^2*b^7*c*d^2 - 2217072*a^3*b^
6*d^3 + 1653760*a^6*b^3*e^3 - 1376256*a^9*f^3 + 45045*(19*b^9*e*f^2 - 6*a*b^8*f^3)*x^8 + 3003*(323*b^9*e^2*f +
96*a^2*b^7*f^3 + 19*(17*b^9*d - 16*a*b^8*e)*f^2)*x^7 + 231*(1615*b^9*e^3 - 1344*a^3*b^6*f^3 + 19*(255*b^9*c -
238*a*b^8*d + 224*a^2*b^7*e)*f^2 + 646*(15*b^9*d*e - 7*a*b^8*e^2)*f)*x^6 + 63*(20995*b^9*d*e^2 - 6460*a*b^8*e
^3 + 5376*a^4*b^5*f^3 - 76*(255*a*b^8*c - 238*a^2*b^7*d + 224*a^3*b^6*e)*f^2 + 323*(65*b^9*d^2 + 56*a^2*b^7*e^
2 + 10*(13*b^9*c - 12*a*b^8*d)*e)*f)*x^5 + 35*(46189*b^9*d^2*e + 12920*a^2*b^7*e^3 - 10752*a^5*b^4*f^3 + 4199*
(11*b^9*c - 10*a*b^8*d)*e^2 + 152*(255*a^2*b^7*c - 238*a^3*b^6*d + 224*a^4*b^5*e)*f^2 + 646*(143*b^9*c*d - 65*
a*b^8*d^2 - 56*a^3*b^6*e^2 - 10*(13*a*b^8*c - 12*a^2*b^7*d)*e)*f)*x^4 + 5*(138567*b^9*d^3 - 103360*a^3*b^6*e^3
+ 86016*a^6*b^3*f^3 - 33592*(11*a*b^8*c - 10*a^2*b^7*d)*e^2 - 1216*(255*a^3*b^6*c - 238*a^4*b^5*d + 224*a^5*b
^4*e)*f^2 + 92378*(9*b^9*c*d - 4*a*b^8*d^2)*e + 323*(1287*b^9*c^2 - 2288*a*b^8*c*d + 1040*a^2*b^7*d^2 + 896*a^
4*b^5*e^2 + 160*(13*a^2*b^7*c - 12*a^3*b^6*d)*e)*f)*x^3 + 537472*(11*a^4*b^5*c - 10*a^5*b^4*d)*e^2 + 19456*(25
5*a^6*b^3*c - 238*a^7*b^2*d + 224*a^8*b*e)*f^2 + 3*(969969*b^9*c*d^2 - 277134*a*b^8*d^3 + 206720*a^4*b^5*e^3 -
172032*a^7*b^2*f^3 + 67184*(11*a^2*b^7*c - 10*a^3*b^6*d)*e^2 + 2432*(255*a^4*b^5*c - 238*a^5*b^4*d + 224*a^6*
b^3*e)*f^2 + 46189*(21*b^9*c^2 - 36*a*b^8*c*d + 16*a^2*b^7*d^2)*e - 646*(1287*a*b^8*c^2 - 2288*a^2*b^7*c*d + 1
040*a^3*b^6*d^2 + 896*a^5*b^4*e^2 + 160*(13*a^3*b^6*c - 12*a^4*b^5*d)*e)*f)*x^2 + 369512*(21*a^2*b^7*c^2 - 36*
a^3*b^6*c*d + 16*a^4*b^5*d^2)*e - 5168*(1287*a^3*b^6*c^2 - 2288*a^4*b^5*c*d + 1040*a^5*b^4*d^2 + 896*a^7*b^2*e
^2 + 160*(13*a^5*b^4*c - 12*a^6*b^3*d)*e)*f + (4849845*b^9*c^2*d - 3879876*a*b^8*c*d^2 + 1108536*a^2*b^7*d^3 -
826880*a^5*b^4*e^3 + 688128*a^8*b*f^3 - 268736*(11*a^3*b^6*c - 10*a^4*b^5*d)*e^2 - 9728*(255*a^5*b^4*c - 238*
a^6*b^3*d + 224*a^7*b^2*e)*f^2 - 184756*(21*a*b^8*c^2 - 36*a^2*b^7*c*d + 16*a^3*b^6*d^2)*e + 2584*(1287*a^2*b^
7*c^2 - 2288*a^3*b^6*c*d + 1040*a^4*b^5*d^2 + 896*a^6*b^3*e^2 + 160*(13*a^4*b^5*c - 12*a^5*b^4*d)*e)*f)*x)*sqr
t(b*x + a)/b^10

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((f*x**3+e*x**2+d*x+c)**3/(b*x+a)**(1/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 1.18098, size = 1909, normalized size = 2.7 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((f*x^3+e*x^2+d*x+c)^3/(b*x+a)^(1/2),x, algorithm="giac")

[Out]

2/4849845*(4849845*sqrt(b*x + a)*c^3 + 4849845*((b*x + a)^(3/2) - 3*sqrt(b*x + a)*a)*c^2*d/b + 969969*(3*(b*x
+ a)^(5/2) - 10*(b*x + a)^(3/2)*a + 15*sqrt(b*x + a)*a^2)*c*d^2/b^2 + 969969*(3*(b*x + a)^(5/2) - 10*(b*x + a)
^(3/2)*a + 15*sqrt(b*x + a)*a^2)*c^2*e/b^2 + 138567*(5*(b*x + a)^(7/2) - 21*(b*x + a)^(5/2)*a + 35*(b*x + a)^(
3/2)*a^2 - 35*sqrt(b*x + a)*a^3)*d^3/b^3 + 415701*(5*(b*x + a)^(7/2) - 21*(b*x + a)^(5/2)*a + 35*(b*x + a)^(3/
2)*a^2 - 35*sqrt(b*x + a)*a^3)*c^2*f/b^3 + 831402*(5*(b*x + a)^(7/2) - 21*(b*x + a)^(5/2)*a + 35*(b*x + a)^(3/
2)*a^2 - 35*sqrt(b*x + a)*a^3)*c*d*e/b^3 + 92378*(35*(b*x + a)^(9/2) - 180*(b*x + a)^(7/2)*a + 378*(b*x + a)^(
5/2)*a^2 - 420*(b*x + a)^(3/2)*a^3 + 315*sqrt(b*x + a)*a^4)*c*d*f/b^4 + 46189*(35*(b*x + a)^(9/2) - 180*(b*x +
a)^(7/2)*a + 378*(b*x + a)^(5/2)*a^2 - 420*(b*x + a)^(3/2)*a^3 + 315*sqrt(b*x + a)*a^4)*d^2*e/b^4 + 20995*(63
*(b*x + a)^(11/2) - 385*(b*x + a)^(9/2)*a + 990*(b*x + a)^(7/2)*a^2 - 1386*(b*x + a)^(5/2)*a^3 + 1155*(b*x + a
)^(3/2)*a^4 - 693*sqrt(b*x + a)*a^5)*d^2*f/b^5 + 46189*(35*(b*x + a)^(9/2) - 180*(b*x + a)^(7/2)*a + 378*(b*x
+ a)^(5/2)*a^2 - 420*(b*x + a)^(3/2)*a^3 + 315*sqrt(b*x + a)*a^4)*c*e^2/b^4 + 41990*(63*(b*x + a)^(11/2) - 385
*(b*x + a)^(9/2)*a + 990*(b*x + a)^(7/2)*a^2 - 1386*(b*x + a)^(5/2)*a^3 + 1155*(b*x + a)^(3/2)*a^4 - 693*sqrt(
b*x + a)*a^5)*c*f*e/b^5 + 4845*(231*(b*x + a)^(13/2) - 1638*(b*x + a)^(11/2)*a + 5005*(b*x + a)^(9/2)*a^2 - 85
80*(b*x + a)^(7/2)*a^3 + 9009*(b*x + a)^(5/2)*a^4 - 6006*(b*x + a)^(3/2)*a^5 + 3003*sqrt(b*x + a)*a^6)*c*f^2/b
^6 + 20995*(63*(b*x + a)^(11/2) - 385*(b*x + a)^(9/2)*a + 990*(b*x + a)^(7/2)*a^2 - 1386*(b*x + a)^(5/2)*a^3 +
1155*(b*x + a)^(3/2)*a^4 - 693*sqrt(b*x + a)*a^5)*d*e^2/b^5 + 9690*(231*(b*x + a)^(13/2) - 1638*(b*x + a)^(11
/2)*a + 5005*(b*x + a)^(9/2)*a^2 - 8580*(b*x + a)^(7/2)*a^3 + 9009*(b*x + a)^(5/2)*a^4 - 6006*(b*x + a)^(3/2)*
a^5 + 3003*sqrt(b*x + a)*a^6)*d*f*e/b^6 + 2261*(429*(b*x + a)^(15/2) - 3465*(b*x + a)^(13/2)*a + 12285*(b*x +
a)^(11/2)*a^2 - 25025*(b*x + a)^(9/2)*a^3 + 32175*(b*x + a)^(7/2)*a^4 - 27027*(b*x + a)^(5/2)*a^5 + 15015*(b*x
+ a)^(3/2)*a^6 - 6435*sqrt(b*x + a)*a^7)*d*f^2/b^7 + 1615*(231*(b*x + a)^(13/2) - 1638*(b*x + a)^(11/2)*a + 5
005*(b*x + a)^(9/2)*a^2 - 8580*(b*x + a)^(7/2)*a^3 + 9009*(b*x + a)^(5/2)*a^4 - 6006*(b*x + a)^(3/2)*a^5 + 300
3*sqrt(b*x + a)*a^6)*e^3/b^6 + 2261*(429*(b*x + a)^(15/2) - 3465*(b*x + a)^(13/2)*a + 12285*(b*x + a)^(11/2)*a
^2 - 25025*(b*x + a)^(9/2)*a^3 + 32175*(b*x + a)^(7/2)*a^4 - 27027*(b*x + a)^(5/2)*a^5 + 15015*(b*x + a)^(3/2)
*a^6 - 6435*sqrt(b*x + a)*a^7)*f*e^2/b^7 + 133*(6435*(b*x + a)^(17/2) - 58344*(b*x + a)^(15/2)*a + 235620*(b*x
+ a)^(13/2)*a^2 - 556920*(b*x + a)^(11/2)*a^3 + 850850*(b*x + a)^(9/2)*a^4 - 875160*(b*x + a)^(7/2)*a^5 + 612
612*(b*x + a)^(5/2)*a^6 - 291720*(b*x + a)^(3/2)*a^7 + 109395*sqrt(b*x + a)*a^8)*f^2*e/b^8 + 21*(12155*(b*x +
a)^(19/2) - 122265*(b*x + a)^(17/2)*a + 554268*(b*x + a)^(15/2)*a^2 - 1492260*(b*x + a)^(13/2)*a^3 + 2645370*(
b*x + a)^(11/2)*a^4 - 3233230*(b*x + a)^(9/2)*a^5 + 2771340*(b*x + a)^(7/2)*a^6 - 1662804*(b*x + a)^(5/2)*a^7
+ 692835*(b*x + a)^(3/2)*a^8 - 230945*sqrt(b*x + a)*a^9)*f^3/b^9)/b